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\begin{document}

\title{\hei Monty Hall 问题的计算机模拟和分析}

\author{\small 王何宇 \thanks{email: wangheyu@zju.edu.cn} \quad 学号：9401???\\ 
        \small 数学科学学院，数学与应用数学专业\\
       }
\date{}
\maketitle

%%------------------------------------------
\section{问题描述}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{theorem}{0}
\setcounter{definition}{0}

参赛者面前有三扇关闭的门，其中一扇门后有一辆汽车，而另外两扇门后面各藏有一只山羊。参赛者从三扇门中随机选取一扇，门后物品即奖励。当参赛者选定一扇门尚未开启时，主持人会打开一扇背后有羊的门，然后问参赛者是否要换一扇门。问：参赛者此时换门，是否会影响他赢得汽车的概率？\cite{xlq2014}

显然，不换门的胜率为 $\frac{1}{3}$，因此我们只需模拟并统计换门的胜率，再通过比较和分析，就可以得出结论。为此，我们将首先进行 $N$ 次重复测试，然后：
\begin{enumerate}
\item 统计当 $N$ 线性增长时，频率和标准差的变化；
\item 固定 $N$，进行多组实验，统计胜率的随机分布情况，观察其是否呈正态分布。
\end{enumerate}

\subsection{设计思路}
在模拟过程中会出现 $0, 1, 2$ 三个下标，已选其中一个或两个，比如一个是 open 值，代表主持人开的门，一个是 choice 值，代表参赛者选的门，如何在不读取 open 和 choice 的实际值，也不遍历 $0, 1, 2$ 的情况下直接选出没有被选择的那一个数是一个能提高效率的做法。事实上，注意到不论 open 和 choice 为何值，必有
\begin{equation}
\label{eq::change}
\mbox{open} + \mbox{choice} + x = 0 + 1 + 2 = 3 \Rightarrow x = 3 - \mbox{open} - \mbox{choice}. 
\end{equation}

\section{模拟结果和分析}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{theorem}{0}
\setcounter{definition}{0}

\noindent {\hei 实验一：统计当 $N$ 线性增长时，频率的变化}

\noindent {\hei 参数设置：} 重复次数初始为 $100$，每组增加 $100$ 次，一共进行 $100$  组试验，观察频率的变化。

\noindent {\hei 结果分析：} 从图 \ref{fig::success_rate} 中可以看到，随着重复次数 $N$ 的增加，获胜的频率稳定在 $\frac{2}{3}$  附近，且振荡幅度逐渐收窄。这一现象和我们的理论估计一致。

\begin{figure}[!htbp]
\centering
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/success_rate.pdf}
\caption{\small 成功率关于重复试验次数 $N$ 的变化趋势。$N$ 从 $100$ 到 $10000$ 线性增长。}
\label{fig::success_rate}
\end{figure}

\noindent {\hei 实验二：固定重复试验次数 $N$，进行多组实验，统计胜率的随机分布情况。}

\noindent {\hei 参数设置：} 固定重复次数为 $N = 500$，一共进行 $100000$  组试验。

\noindent {\hei 结果分析：} 试验结果的统计分布如图 \ref{fig::hist}，该分布符合期望为 $\frac{2}{3}$ 的正态分布。

\begin{figure}[!htbp]
\centering
\includegraphics[width=0.7\textwidth]{images/hist.pdf}
\caption{\small 固定重复试验次数 $N = 500$， 重复 $100000$ 组试验后的统计分布。}
\label{fig::hist}
\end{figure}

\section{结论和进一步工作}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{theorem}{0}
\setcounter{definition}{0}
模拟的结果在关于重复次数增长率和大样本（每组 $500$ 次重复，共 $100000$ 组）的结果分布上，均服从期望为 $\frac{2}{3}$ 的正态分布，从而验证了换门之后，胜率为 $\frac{2}{3}$ 的理论结果。

可以考虑的进一步工作有：
\begin{enumerate}
\item 在二阶或更高阶矩上，验证试验结果和分布与理论结果的一致性；
\item 根据模拟结果，计算胜率为 $\frac{2}{3}$ 的点估计和区间估计。
以上问题留待后续问题解决。
\end{enumerate}

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\bibliography{crazyfish}
\end{document}
